|
Samenvatting Wiskunde statistiek 1 en 2 - Atheneum 5 - periode C
2006/2007 Statistiek 1: statistische verwerking Statistiek gaat over waarnemingen (en hun aantallen). Er zijn 2
mogelijkheden: 1.
Het gaat over één rijtje waarnemingen, elke
waarneming wordt genoemd, zie rijtje bij som 5, 8, 24 en som 27. 2.
Het gaat over een tabel met verschillende
waarnemingen met bij elke waarneming een aantal. Dit komt het meest voor, zie
bijvoorbeeld de tabellen bij som 3, 9 en 14. Je moet gemiddelde, standaardafwijking, modus, mediaan en boxplot (min-Q1-mediaan-Q3-maximum) kunnen uitrekenen
(met behulp van de rekenmachine). Aantallen waarnemingen frequentie = aantal keren dat een waarneming voorkomt absolute frequentie = werkelijke (getelde) aantal relatieve frequentie = aantal in verhouding tot totaal, dus als commagetal of percentage. cumulatieve frequentie = somfrequentie = alle frequenties van
kleinste tot huidige opgeteld. modus = meest
voorkomende waarneming Klassenindeling Vaak worden waarnemingen niet afzonderlijk genoemd, maar gegroepeerd
in klassen. Het is bijvoorbeeld niet zinvol om de lengte van mensen
(gemeten in milimeter nauwkeurig) als afzonderlijke
waarneming te bewaren. Zinvoller is het dan om klassen te maken, bijvoorbeeld
180 tot Een klasse is dus een gebiedje, een interval van waarnemingen.
We schrijven een klassenindeling meestal in intervalnotatie,
bijvoorbeeld [180, 182>. Een klasse loopt van de linker
klassegrens tot de rechter klassegrens. Elke klasse heeft een klassenbreedte,
het verschil tussen linker en rechter klassegrens.
Het klassenmidden is het midden tussen linker en rechtergrens. Van de
klasse [180, 182> is 180 de linker klassegrens,
182 de rechterklassegrens, de klassebreedte
is 2 en het klassenmidden is 181. De waarneming 180 hoort in deze klasse,
want '[' geeft aan dat de linkergrens in de klasse valt. De waarneming 182
hoort niet in deze klasse maar in de volgende, want '>'
geeft aan dat de rechtergrens niet in de klasse valt. Soms moet je in een klassenindeling goed de echte grenzen van de
klassen nog uitzoeken, omdat de klassen niet aansluitend zijn. Bijvoorbeeld
bij som 10: maak de klassen aansluitend door te nemen [0,
5>, [5, 10>, [10,15> en [15, 18>. som 14: [162; 167,5>,
[167,5; 172,5> enzovoort. som 15: [0, 20>, [20, 45> enzovoort. Tekenen van
grafieken frequentiepolygoon = lijndiagram = grafiek van horizontaal
waarneming en verticaal frequentie. somfrequentiepolygoon = lijndiagram met
verticaal somfrequentie frequentiepolygoon en somfrequentiepolygoon
kunnen ook met relatieve frequentie: ze heten dan relatieve
frequentiepolygoon en relatieve somfrequentiepolygoon. Let op: ·
Een frequentiepolygoon teken je door het klassenmidden
te nemen op de x-as en het punt te zetten bij de bijbehorende frequentie. ·
Een somfrequentiepolygoon
teken je door de rechter klassegrens te
nemen op de x-as en het punt te zetten bij de bijbehorende somfrequentie. Vervolgens verbind je de punten met rechte lijnen. Denk aan: -tekenen met potlood en geodriehoek; - tekst bij de assen; - correcte
schaalverdeling. In een polygoon (grafiek) kun je aflezen wat de klassenindeling is
(namelijk steeds een recht lijnstuk voor het interval op de x-as). Uit een somfrequentiepolygoon kun je Q1, mediaan en Q3 direct aflezen
op de x-as bij de y op 25%, 50% en 75%. Berekenen De waarnemingen voer je in in je
rekenmachine met stat - edit. ·
Alleen waarnemingen? Alleen L1 invullen ·
Waarnemingen en frequenties? Waarnemingen in L1,
frequenties in L2 ·
relatieve (som)frequenties? Bij L3 naar boven, ·
Lijstje leegmaken? Helemaal naar boven op L.. staan en clear ·
Lijstje weg en terughalen? Helmaal naar boven op
het eerst volgende lijstje. Dan 2nd del en naam lijstje
invoeren (2nd 1 voor L1, 2nd 2 voor L2 enzovoort) Na het invoeren van de tabel druk je stat - calc - 1-Var Stats enter Aleen een rijtje waarnemingen? Doe 1-Var Stats L1 Lijstje waarnemingen met lijstje frequenties? Doe 1-Var Stats L1 , L2 Van de dingen die je dan kunt aflezen, noem ik hier degenen die we
gebruiken (druk zonodig pijltje naar beneden):
sx: de
standaardafwijking (= standaarddeviatie = s = s(X)) n: het aantal waarnemingen (daarmee kun controleren dat je de
gegevens goed hebt ingevoerd) minX: laagste waarneming Q1: waarneming op 25% Med: mediaan = middelste waarneming Q3: waarneming op 75% maxX: grootste waarneming minX, Q1, Med, Q3 en maxX gebruik je voor het tekenen van een boxplot. Teken een boxplot
liever met de hand (met stat-plot van de
rekenmachine gaat er snel iets mis). Let op: -gelijke hoeveelheid per vakje
langs de x-as, - verticale streepjes bij min, Q1, med,
Q3, max, - box van Q1 tot
Q3, - horizontale lijn van minX naar Q1 en van Q3
naar maxX. Maten voor de spreiding (hoever de waarnemingen uit elkaar liggen
zijn): ·
Spreidingsbreedte = maxX
- minX ·
Kwartielafstand = Q3 - Q1 ·
Standaardafwijking - waarde volgt uit
rekenmachine, formule hoef je niet te kennen. Statistiek 2: (kans)verdelingen Een kansverdeling is een tabel met de mogelijke uitkomsten en
hun kans. Waar we de kans van bekijken noemen we een toevalsvariabele
of stochast. Een stochast
geven we aan met een hoofdletter, bijvoorbeeld X. De kans op een bepaalde
uitkomst a noemen we P(X = a), P staat voor probability.
Voorbeeld: X = aantal keren zes bij 10 keer gooien van dobbelsteen. P(X=3) is
de kans op 3 keer zes gooien. In een kansverdeling moet je de kans op elke mogelijke uitkomst
afzonderlijk uitrekenen. Als je in een kansverdeling alle mogelijk uitkomsten
hebt, dan moeten alle kansen opgeteld
samen 1 zijn. Als je een kansverdeling hebt, kun je de verwachtingswaarde E(X)
uitrekenen. Er zijn 2 manieren: 1.
Vermenigvuldig elke mogelijke uitkomst met de kans
en tel alles op. 2.
Bereken het op de rekenmachine door L1 = mogelijke
uitkomsten en L2 = kans en vervolgens Met de 2e manier reken je tevens de standaardafwijking s(X) (= sx) uit. De binomiale kansverdeling Soms is een kansverdeling binomiaal.
Dat is als: 1.
Elk kansexperiment 2 mogelijke uitkomsten heeft.
De kans op 'succes' is p, de kans op 'mislukt' = q = 1-p. 2.
Het kansexperiment n keer herhaald wordt. Een binomiale kansverdeling geven we aan
als bin(n, p) verdeeld. Let op: een kansverdeling is alleen binomiaal
als de kans op succes steeds hetzelfde blijft. Als je een kansverdeling moet
maken van iets waarvan de kans verandert, zoals trekken zonder terugleggen,
dan is de kansverdeling handwerk. Bekijk dit goed uit de kopieën van het 4e
klas boek. Een kansverdeling van een binomiale kans
heeft de mogelijke uitkomsten 0..n. De uitkomst
waarvan je de kans wilt uitrekenen noemen we k. Voorbeeld: Een stochast X is bin(10, 0.2) verdeeld.
Je wilt P(X = 3) uitrekenen, dus de kans op uitkomst 3. Je
hebt dan: n=10; p=0,2; k = 3. Een binomiale kans reken je uit met binompdf(n, p, k). binompdf
vind je op je rekenmachine onder 2nd vars - 0 binompdf( enter. In het voorbeeld reken je
voor P(X = 3) dus uit: binompdf(10, 0.2, 3). Soms wil je niet een kans op precies
een uitkomst k uitrekenen, maar de kans op hoogstens uitkomst k, dus
P(X £ k). Je kunt dit
doen door binompdf(n, p, 0) t/m binompdf(n,
p, k) op te tellen. Het kan sneller met binomcdf(n,
p, k). binomcdf vind je op je rekenmachine
onder 2nd vars - A binomcdf( enter. Bijvoorbeeld reken je voor de
kans op hoogstens 4, dus P(X £ 4) uit: binomcdf(10, 0.2, 4). Hoe werk je met binomcdf?
Bij een binomiale kansverdeling heb je de volgende formules: Verwachtingswaarde: E(X) = n * p Standaardafwijking
: s(X) = wortel n *p
* (1-p) Deze formules staan op je
formuleblad. Discreet of continue? De binomiale verdeling is een discrete
verdeling: niet elk kommagetal kan een uitkomst zijn. Als wel elk kommagetal
een uitkomst kan zijn dan is sprake van een continue verdeling. Denk
bij een discrete verdeling aan een digitaal getal, bij een continue verdeling
aan een analoog getal. Discreet is vaak een aantal, continue is vaak gewicht,
tijdsduur of lengte. De normale verdeling Een symmetrische verdeling rond een gemiddelde noemen we een normale
verdeling. Denk bijvoorbeeld aan de gewichten van pakken suiker: het
gemiddelde pak suiker weegt Alles wat symmetrisch rond een gemiddelde zit, voldoet aan de
eigenschappen van de normaal verdeling. Voorbeelden
zijn geboortegewicht van jongens of meisjes, haargroei per dag, gewicht van
een doosje rozijntjes. Een normale verdeling karakteriseer je met het gemiddelde m en de standaardafwijking s. We schrijven dan: het is
Norm(m, s) verdeeld. Een normale verdeling heeft de volgende kenmerken (zie blz ·
De grafiek is klokvormig ·
De grafiek is symmetrisch ·
68% van de waarnemingen ligt tussen m-s en m+s. ·
95% van de waarnemingen ligt tussen m-2s en m+2s. Dit zijn dus de dingen die je moet nagaan als je wilt onderzoeken of iets
normaal verdeeld is. Bij een normale verdeling zijn het gemiddelde m en de standaardafwijking s in het
algemeen gegeven. Rekenregels Of het nou gaat om binomiale
kansverdelingen of normale verdelingen, je kunt rekenen met de
verwachtingswaarde E(X) en de standaardafwijking s(X): Als je een vast getal c
erbij doet, wordt E(X) c hoger en verandert s(X) niet: E(X + c) = E(X) + c s(X + c) = s(X) Als je vermenigvuldigd met
een vast getal c, dan wordt E(X) c keer zoveel en s(X) ook c keer
zoveel: E(X . c) = E(X)
* c s(X . c) = s(X) * c Deze formules staan niet
op de formulekaart Als je 2 experimenten X en
Y na elkaar doet dan kun je een gezamenlijke verwachtingswaarde uitrekenen: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Als je 2 experimenten X en
Y na elkaar doet die elkaar niet beïnvloeden en dus onafhankelijk van
elkaar zijn dan kun je een gezamenlijke standaardafwijking uitrekenen: s(X + Y) = Bekijk voor wel/niet
onafhankelijk som 27 en 29: bij som 27 is de kans onafhankelijk, bij som 29
is de kans niet onafhankelijk want het is trekken zonder terugleggen. Deze formules staan op de
formulekaart Als S de som is van n keer herhaald stochast X dan: E(S) = n
. E(X) s(S) = Als E( s( Deze regels heten de |
: het gemiddelde van de waarnemingen (= 
. 