Kansverdelingen
januari
2007 Dit stencil
vervangt hoofdstuk Statistiek 2 van Moderne Wiskunde A1 deel 3. 2.1
Kansverdelingen Functies kennen jullie als "getallenmachientjes:" je stopt een getal x in de formule die bij de functie hoort, en er komt een ander getal y uit. Een kansverdeling is een speciaal soort functie: het getal dat je erin stopt, hoort bij een gebeurtenis, en de uitkomst is de kans op die gebeurtenis. De variabele die je gebruikt in een kansverdeling, noem je een toevalsvariabele of een stochast. Meestal wordt deze aangeduid met een hoofdletter X. Voorbeeld: Je gooit met twee dobbelstenen. X is het aantal zessen. De kansverdeling van X bestaat dus uit 3 kansen: de kans op 0, op 1 of op 2 zessen. Je noteert "de kans op" met de hoofdletter P (van het Engelse woord voor kans: probability). Dus P(X = 0) betekent: "de kans op 0 zessen." De kansverdeling kun je weergeven in een tabel:
Je kunt een kansverdeling altijd controleren door
na te gaan of de som van alle kansen gelijk is aan 1. Opgave 1: Vul de andere twee getallen in de tabel
in en verifieer dat de som van de kansen gelijk is aan 1. Je kunt bij eenzelfde situatie nog meer stochasten bedenken. Een aantal mogelijkheden: Y = de som van het aantal ogen op beide dobbelstenen. Z = het verschil van het aantal ogen op beide dobbelstenen Opgave
2: Stel tabellen op bij de
kansverdelingen van Y en Z. Opgave
3: Maak opgave V4 a,b,c op blz. 87
van je boek. 2.2
De binomiale verdeling Een kansexperiment is een handeling waar de uitkomst niet van tevoren vaststaat. Het meest eenvoudige kansexperiment is een experiment waarbij je maar 2 mogelijkheden hebt. Zo'n experiment heet een Bernoulli-experiment. [extra genoemd naar Jakob Bernoulli, een 17e eeuwse Zwitserse wiskundige, die ook een tijd in Groningen gewerkt heeft. extra]. Bernoulli noemde deze twee mogelijkheden "succes" en "mislukking". Succes geven we ook wel aan met "1" en mislukking met "0". De stochast van een Bernoulli-experiment noemen we een Bernoulli-stochast. De kans op succes noemen we altijd p, de kans op mislukking is q, waarbij q = 1 - p. Een paar voorbeelden: · het gooien met een munt. Succes is "kop." · het trekken van een bal uit een vaas met drie rode en twee blauwe knikkers. Succes is "een rode knikker trekken." · het gooien met een dobbelsteen. Succes is "zes gooien." · het gokken van een vierkeuzevraag. Succes is "goed gokken." Opgave
4: Geef p in al deze vier
voorbeelden. Je kunt zo'n Bernoulli-experiment herhalen zonder dat p verandert. Stel dat je bijvoorbeeld een test met 10 vierkeuzevragen krijgt, die je allemaal moet gokken. Als je de kans wilt weten dat je 6 van de 10 vragen goed hebt, ga je als volgt te werk: ·
Zes keer een antwoord goed
(succes): ·
Vier keer mislukking: ·
Het aantal combinaties van zes
goede antwoorden (één combinatie is bijvoorbeeld 1,3,4,6,7 en10 goed): Dit is
gelijk aan ·
Deze drie getallen keer elkaar: Ø De ! (faculteit-toets) vindt je op de TI-83 onder math – prb – 4: !. Ø
De kans p in een Bernoulli-experiment noem je een binomiale kans. De stochast X = "het aantal keer succes" heet een binomiale stochast, de verdeling van X is een binomiale verdeling. Een binomiale verdeling heeft de volgende kenmerken: · er is een Bernoulli-experiment met kans op succes = p. · Dat experiment wordt n keer herhaald, zonder dat p verandert gedurende de herhalingen. · Als X = "het aantal keren succes" dan zeg je 'de stochast X is Bin(n, p) verdeeld' en kun je de kansverdeling van X weergegeven met de volgende formules: P(X = k) = en P(X £ k) = Het S-teken betekent "som." Het uitrekenen van binomiale kansen kost veel tijd. Gelukkig biedt de rekenmachine uitkomst (zie helpdesk 4_8): P(X = k) = distr – 0:binompdf( n, p, k) P(X £ k) = distr – 0:binomcdf( n, p, k) Voorbeeld: Je gooit twintig keer met een dobbelsteen. Succes = zes gooien. a) Bereken de kans op 4 keer een zes. b) Bereken de kans op hoogstens 5 keer een zes. c) Bereken de kans op minstens 10 keer een zes. d) Bereken de kans op minstens 2 en hoogstens 5 keer een zes. Uitwerking: a) Binomiaal, n = 20, p = 1/6, k = 4. Uitrekenen binompdf(20, 1/6, 4) b) P(X £ 5), dus uitrekenen binomcdf(20, 1/6, 5) c) P(X ³ 10) = 1 – P(X £ 9), dus uitrekenen 1 - binomcdf(20, 1/6, 9) d)
P(2 £ X £ 5) = P(X £ 5) - P(X £ 1), dus uitrekenen Opgave 5: Maak opgave 8 en 9 op bladzijde 90 van het boek2.3
Andere kansverdelingen De binomiale verdeling is een voorbeeld van een discrete kansverdeling. "Discreet" wil zeggen dat je een aftelbaar aantal waarden in de functie kunt invullen. Zo heeft het bij een binomiale verdeling alleen zin om gehele getallen in te vullen tussen 0 en n. [extra Een andere discrete kansverdeling die uitgaat van de Bernoulliverdeling, is de geometrische verdeling, ook wel de Mens-erger-je-niet-verdeling genoemd. Bij dit bekende oud-Hollandse bordspel mag je je pion pas op het bord zetten als je zes hebt gegooid. De stochast X is "het aantal keer dat je moet gooien om voor het eerst 6 te gooien. Je kunt van deze situatie een tabel maken:
Opgave 6: a) Bereken de andere kansen in de tabelb)
Bedenk een algemene formule voor P(X = k) c)
Beredeneer dat je voor k alle gehele getallen groter dan of gelijk
aan De algemene formule voor een geometrische verdeling is: P(X = k) = p×qk-1
Hierbij is p de kans op succes, q = 1 - p de kans op mislukking en k het aantal keer dat je het kansexperiment moet uitvoeren voor het eerste succes. Opgave 7: In een vaas zitten twaalf witte en acht rode knikkers. Gemma pakt er 1 knikker uit, legt deze weer terug, pakt er weer een uit, legt deze weer terug, net zo lang tot ze een rode knikker heeft. Lucas pakt uit dezelfde vaas achter elkaar 6 knikkers, zonder ze terug te leggen, en telt het aantal rode knikkers. a)
Stochast X is het aantal keer dat Gemma een knikker pakt. Stochast Y
is het aantal rode knikkers dat Lucas pakt. Hoe heten de kansverdelingen bij
X en Y? b)
Bereken de kans dat Gemma minder dan 6 keer een knikker pakt. c)
Bereken de kans dat Lucas hoogstens 1 rode knikker pakt. extra] 2.4
De normale verdeling De gemiddelde lengte van de Nederlandse man is 1,83m. De meeste mannen hebben een lengte die niet veel afwijkt van het gemiddelde; een relatief klein aantal is bijzonder groot of bijzonder klein. Toch kun je niet spreken van "de kans dat een man precies 1,83m is," als je op micrometers nauwkeurig gaat meten, zullen alle mannen wel iets groter of kleiner dan 1,83m zijn. De stochast X = de lengte van de Nederlandse man heet een continue stochast, omdat je in principe alle getallen op een bepaald domein (1,20m - 2,40m) kunt invullen voor X, ook alle kommagetallen. De verdeling van X heet een continue verdeling. Bij zo'n verdeling kun je kansen als P(X = 1,83) niet berekenen; je kunt wel kijken naar kansen als P(X < 1,70) of P(X > 2,10) Als je te maken hebt met een kansverdeling, is het altijd zinvol je eerst af te vragen of de verdeling discreet of continu is. Bij een discrete verdeling kun je altijd maar een beperkt aantal getallen op een bepaald interval invullen, een discrete stochast bevat vaak het woord "aantal". Bij een continue verdeling is er geen vast aantal getallen dat je kunt invullen op een interval, het is in principe onbeperkt. Opgave 8: Maak opdracht 16 op blz. 93. Bij een discrete kansverdeling kun je een staafdiagram tekenen. De hoogte van de staafjes bepaalt de grootte van de kans. Bij een continue kansverdeling kun je geen staafdiagram tekenen, omdat je oneindig veel kansen hebt. Je kunt wel een grafiek tekenen. Je kunt zo'n grafiek zien als een staafdiagram met oneindig dunne staafjes. Met behulp van zo'n grafiek kun je toch de kansen in de kansverdeling bepalen. De totale oppervlakte onder de grafiek is 1, omdat de som van alle kansen altijd 1 is. Net als in het staafdiagram. Je kunt de grafiek indelen in staafjes (met ronde bovenkant). De oppervlakte onder de grafiek komt dan overeen met de kans dat de stochast tussen de grenzen van het staafje zit. Vaak hebben die grafieken een typische vorm, de vorm van een klok. Je ziet deze vorm op bladzijde 93 naast som 19. Omdat zo'n verdeling zo vaak voorkomt, heet deze een normale verdeling. Hij wordt ook wel Gaussverdeling genoemd, naar de ontdekker, de Duitse wiskundige Carl-Friedrich Gauss (1787-1855). Omdat de normale verdeling symmetrisch is, valt het gemiddelde precies samen met het hoogste punt van de grafiek. Het gemiddelde van de normale verdeling wordt meestal aangeduid met de Griekse letter m (spreek uit "mu") (m vanwege 'mean', engels voor gemiddelde. Opgave 9: Bepaal of de volgende stochasten normaal verdeeld zouden kunnen zijn: a)
De lengte van de leerlingen uit klas V5a b)
De schoenmaat van de Nederlander c)
Het gewicht van een partij kilozakken suiker d)
De tijd die verstrijkt voordat het eerste doelpunt valt in een
wedstrijd Ajax-Feijenoord e)
Het aantal keer kop bij 1000 keer gooien met een munt. 2.5
Verwachtingswaarde Een centrummaat is een getal dat bepaalt waar het centrum van een rij getallen ongeveer ligt. Je hebt drie centrummaten geleerd: het gemiddelde, de mediaan en de modus. Het gemiddelde komt van deze drie verreweg het meest voor. Ook de uitkomstenverzameling van een kansverdeling kun je zien als een rij getallen, en ook deze rij heeft een gemiddelde. Dit gemiddelde wordt de verwachtingswaarde genoemd. De verwachtingswaarde van een kansverdeling kun je berekenen door het "gewogen gemiddelde" van alle uitkomsten te berekenen; een gewogen gemiddelde is een gemiddelde waarbij de uitkomsten waar meer kans op is, ook zwaarder meetellen. In formulevorm: E(X) = Bekijk nogmaals het voorbeeld op bladzijde 1. De berekening van de verwachtingswaarde ziet er als volgt uit: E(X) = 0 · Het gemiddeld aantal te verwachten zessen bij het werpen van 2 dobbelstenen, de verwachtingswaarde, is dus 1/3. Opgave 10: a) Beredeneer dat je ook zonder deze berekening had kunnen bedenken dat de verwachting van het aantal zessen bij twee dobbelstenen gelijk is aan één derde. b) Geef (zonder berekening) de verwachtingswaarde van het aantal zessen bij het gooien met drie dobbelstenen. Controleer je antwoord met een berekening. De verwachtingswaarde van de kansverdeling van een
stochast noteer je met de hoofdletter E (van het Engelse woord voor
verwachting: expectation):
E(X) = de verwachtingswaarde van de kansverdeling van stochast X. Opgave 11: Maak opdracht V4 d, e op blz. 87 van het
boek. Stochasten zijn kansverdelingen. Als je 2
stochasten hebt (noem ze b.v. X en Y), kun je een nieuwe stochast maken (b.v.
S) door de beide experimenten na elkaar te doen en de uitkomsten op te
tellen. We schrijven dan S = X + Y, we 'tellen de stochasten op'. Opgave 12: Maak opdracht V5 en V6 op blz. 87 van het boek. 2.5.1
Rekenregels voor verwachtingswaarde In opgave 12 heb je stochasten bij elkaar opgeteld. In V5 waren dat twee verschillende, in V6 waren ze allemaal hetzelfde. Het blijkt dat het logisch lijkt om als je stochasten bij elkaar optelt, dan ook de verwachtingswaarden bij elkaar op te tellen. Dat is inderdaad een algemene regel: Somregel
voor de verwachtingswaarde: Voor twee stochasten X en Y geldt: E(X+Y) = E(X) + E(Y), dus voor stochasten X, Y, Z, .... geldt: E(X+Y+Z+...)
= E(X) + E(Y) + E(Z) + E(...) + ... [extra Je kunt dit aantonen door te bedenken dat elke uitkomst van X+Y wordt verkregen door één uitkomst van X en één van Y bij elkaar op te tellen. Het gewogen gemiddelde van de uitkomsten van X+Y is dan ook de som van de gewogen gemiddeldes van X en Y afzonderlijk. extra] 2.5.2
Rekenregels voor verwachtingswaarde Analoog aan optellen kunnen we stochasten ook
vermenigvuldigen met een getal (b.v. a). Dat betekent dat we het experiment a keer herhalen en die
uitkomsten optellen. Uit de somregel volgt daarvoor de Productregel voor de
verwachtingswaarde: Voor
elke stochast X geldt: E(a x
X herhaalt) = a · E(X). Met behulp van bovenstaande productregel kun je snel de verwachtingswaarde van de binomiale verdeling berekenen. Een binomiale stochast is namelijk de som van n Bernoulli-experimenten. Bij één Bernoulli-experiment heb je de mogelijkheden "succes" (= 1) en "mislukking" (= 0). Als we de Bernoulli-stochast X hierbij definiëren als "het aantal keren succes" (X kan natuurlijk alleen maar 0 of 1 kan zijn), Dan hoort de volgende kansverdeling bij stochast X: P(X = 1) = p en P(X = 0) = 1-p. Opgave 13: a) Beredeneer dat E(X) = p in dit gevalb)
Stel Y is een binomiale stochast. Laat zien dat E(Y) = np. c)
Een honkballer heeft een slaggemiddelde van 0,4. Dat betekent dat de
kans 0,4 is dat hij raak slaat bij een willekeurige aangooi. De stochast Z is
het aantal keer dat hij raak slaat bij 50 aangooien. Bereken E(Z). [extra Ook de geometrische verdeling heeft een vaste formule voor de verwachtingswaarde: als X een geometrische stochast is, is E(X) = 1/p. extra] 2.5.3
Verwachtingswaarde van een normale verdeling Bij de normale verdeling is de verwachtingswaarde gelijk aan m (= gemiddelde) omdat de normale verdeling symmetrisch is.
2.6
Variantie Verwachtingen komen niet altijd uit. De redenering dat het gemiddeld zes keer duurt voordat je zes gooit met Mens-Erger-Je-Niet, zal de frustratie des te groter maken als het (veel) langer duurt dan zes keer. Behalve naar de verwachtingswaarde heeft het dan ook zin om te kijken hoe groot de spreiding is rond het gemiddelde. De meest voorkomende spreidingsmaat is de variantie. De variantie van een stochast X, notatie: Var(X), bereken je als volgt: · Bepaal van alle uitkomsten van X hoe ver deze uitkomst van de verwachtingswaarde af ligt. Dit noemen we de "afwijkingen". · Neem van al deze afwijkingen het kwadraat. · Bepaal het gewogen gemiddelde van deze kwadraten (dat wil zeggen: vermenigvuldig elk kwadraat met de kans op de desbetreffende uitkomst). [extra De variantie wordt ook wel de "gemiddelde kwadratische afwijking" of "gemiddelde kwadratische fout" genoemd. In vakliteratuur kom je vaak de afkorting van de Engelse term tegen: MSE (Mean Squared Error). extra] Er zijn twee redenen voor het nemen van het kwadraat. Ten eerste worden zo alle afwijkingen automatisch positief, of de waarden nu onder of boven het gemiddelde liggen. Ten tweede tellen zo de waarden die ver van het gemiddelde liggen, extra zwaar mee. Soms wordt, om een realistischer getal te krijgen voor de gemiddelde afwijking, uit de variantie de wortel genomen. Dit getal heet de standaardafwijking of standaarddeviatie en wordt aangeduid met de Griekse kleine letter sigma: s (de letter s, spreek uit:"sigma"). Opgave 14: Maak opdracht 6 op blz. 89. Bereken ook de variantie. Wat voor de verwachtingswaarde geldt, geldt ook voor de variantie: als je stochasten optelt, dan kun je ook de bijbehorende varianties optellen. Er is één voorbehoud: de stochasten moeten onafhankelijk zijn. Als de uitkomsten van stochast Y van die van stochast X afhangen, dan heeft dit invloed op de spreiding, en kun je niet zomaar de varianties optellen. Somregel voor varianties (als X en Y onafhankelijk
zijn), dan geldt: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y).
De regel geldt ook voor meer dan twee stochasten: voor stochasten X, Y, Z, .... geldt: Var(X+Y+Z+...) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z) + Var(...) + ... Produktregel voor varianties: Var(a
x X
herhaalt) = a.Var(X). (Hierbij zijn alle stochasten X
onderling onafhankelijk). Opgave 15: Je gooit met een dobbelsteen. X is het aantal ogen. a)
Bereken E(X) en Var(X) Je gooit met twee dobbelstenen. Y is het aantal ogen. b)
Bereken E(Y) en Var(Y) Je gooit met n dobbelstenen. Z is het totaal aantal
ogen. c)
Bepaal E(Z) en Var(Z) 2.6.1
De variantie van de binomiale verdeling Opgave 16: Je gooit met een (zuiver) muntstuk. Hierbij geldt: kop = succes. X is de bijbehorende Bernoulli-stochast. a)
Toon aan dat E(X) = ½ en dat Var(X) = ¼. b)
Toon aan dat voor een Bernoulli-experiment met P(X=1) = p geldt: E(X)
= p en Var(X) = p.q met q = 1 - p. Een binomiale stochast is de som van n Bernoulli-stochasten die allemaal onafhankelijk zijn (de kans op succes verandert niet). We kunnen nu de somregel toepassen om een formule voor de variantie van de binomiale verdeling te vinden: Als X = Bin(n,p) dan geldt Var(X) = n·p·q = n·p·(1 - p) (want q = 1 – p). Opgave 17: a) Toon dit aan. b) Bereken de variantie
van opgave 14 (opdracht 6 op blz. 89) ook met Uit de formule voor de variantie volgt de
formule voor de standaardafwijking: s(X) = Opgave
18: Maak opdracht 12 en 13 op
bladzijde 91. Bereken eerst de verwachte variantie bij opdracht 12a, 12b en
13c en daarna de verwachte standaardafwijking. 2.6.2
De variantie van de normale verdeling Bij een normale verdeling is het gebruikelijk om te werken met de standaarddeviatie. De grafiek van een normale verdeling heeft de vorm van een klok. Deze heeft de volgende kenmerken: · de grafiek is symmetrisch. De symmetrieas ligt precies op m. · Ongeveer 68% van de oppervlakte onder de grafiek ligt tussen twee buigpunten in. De afstand tussen de symmetrieas en een buigpunt is gelijk aan σ. · Ongeveer 95% van de oppervlakte onder de grafiek ligt tussen m - 2σ en m + 2σ. Een normale verdeling hangt af van de parameters m en σ. Je noteert dat als Norm(m, σ). Hoe groter σ, hoe breder en platter de grafiek is. Dit komt ook overeen met je gevoel dat hoe groter de spreiding (σ is een spreidingsmaat), hoe verder de data van je kansverdeling uit elkaar zullen liggen. Bedenk steeds dat de normale kansverdeling een theoretische beschrijving is van een praktische situatie: je verzamelt gegevens (data), deze zet je in een staafdiagram, en dit diagram blijkt dan opvallend vaak de bovengenoemde klokvorm op te leveren. In de praktijk kun je natuurlijk nooit oneindig veel gegevens verzamelen, en je grafiek zal dan ook nooit een perfecte klok opleveren. Opgave 19: Hoeveel
procent van de data in een normale verdeling ligt: a)
tussen m + σ en m + 2σ b) tussen m en m + 2σ c)
tussen m - 2σ en m + σ d)
boven m + 2σ e)
onder m - σ Opgave 20: Maak
opdracht 23 op pagina 95. [extra De normale verdeling met m =0 en σ = 1 heet ook wel de standaardnormale verdeling. Bij de grafiek hiervan hoort de volgende formule: f(x) = e-½x²/√(2π).
In dit
hoofdstuk zullen we verder niet met deze formule werken; wellicht kom je hem
later nog eens tegen. extra] 2.7
De √n - wet In deze paragraaf gaan we ervan uit dat we een
bepaald kansexperiment (dat kan een Bernoulli-experiment zijn, maar dat hoeft
niet) een aantal keer herhalen, zonder dat de kansverdeling van het
experiment verandert. Met andere woorden: de stochasten behorend bij de
diverse experimenten zijn onafhankelijk. Even wat notatie. In het vervolg noemen we S de
som van n identieke, onafhankelijke
stochasten X. Vaak ben je, als je een kansexperiment herhaaldelijk uitvoert,
geïnteresseerd in de gemiddelde uitkomst. De stochast die bij de gemiddelde
uitkomst van X hoort als je het kansexperiment dat bij X hoort n keer herhaalt, noteren we zo: De kansverdeling van de stochast Opgave 21: Je gooit met 2 dobbelstenen. X is het aantal
zessen. In opgave 1 heb je de kansverdeling voor X opgesteld. Je voert het experiment 3 keer uit. S is het totaal aantal zessen.
a) Stel de kansverdeling van S op (maak een tabel) b) Stel de kansverdeling van In paragraaf 2.4.1 hebben we gezien dat de
somregel ons vertelt dat voor de verwachtingswaarde van S de volgende formule
geldt: E(S) = n·E(X). En voor de variantie geldt: Var(S) = n·Var(X) Hieruit kunnen we een formule afleiden voor de
standaarddeviatie: σ(S) = want σ(S)
= Deze formule wordt ook wel de Opgave 22: In een vaas met 3 rode en 2 blauwe
knikkers trek je 2 knikkers en legt ze weer terug. X is het aantal rode knikkers. a) Stel de kansverdeling van X op. b) Bereken E(X), Var(X) en σ(X) Je herhaalt dit kansexperiment 15 keer. De stochast S is het totaal aantal rode knikkers. c) Bereken E(S), Var(S) en σ(S). Als ik twee keer met een munt gooi, verwacht ik
gemiddeld 1 keer kop en 1 keer munt. Niemand zal echter raar staan te kijken
als je allebei de keren munt gooit. Gooi je honderd keer met een munt, dan
verwacht je gemiddeld 50 keer kop. Nu is echter de kans uiterst klein dat je
alle 100 keer munt gooit. Als je de kansverdeling bekijkt, dan zullen de
uitkomsten in de buurt van de 50 keer kop de grootste kansen opleveren. De intuïtie die je hier hebt, kun je wiskundig
gezien als volgt beschrijven: als je een kansexperiment vaak uitvoert, wordt
de kans steeds kleiner dat je resultaten ver afwijken van het gemiddelde. Je verwacht dus dat als je de stochast E( [extra afleidingen: Var( *opmerking: Alle waarden van de stochast S
worden door n gedeeld, dus ook alle afwijkingen. Deze afwijkingen worden
vervolgens gekwadrateerd. σ( Opgave 23: Maak
opdracht 34 en 35 op blz. 99 van het boek. |
, uitspraak "tien boven zes."
= 
k 
(alle uitkomsten maal de kans op die uitkomst, en het
resultaat bij elkaar opgeteld) = 0 + 
= 
= 
: 
= 
= 
= 
=