Antwoorden uitgedeelde stencil Kansverdelingen (Statistiek 2)

 

Dit zijn de antwoorden van de opgaven die in het uitgedeelde hoofdstuk staan. Het uitgedeelde hoofdstuk verwijst ook naar opgaven in het boek. Die antwoorden vind je in de helpdesk (en de uitwerkingen op de Cd-rom bij de helpdesk). Houdt er rekening mee dat de helpdesk fouten kan bevatten, zo is bijvoorbeeld het antwoord vanV4c (paragraaf 2.0) fout in de helpdesk, de uitwerking op de Cd-rom klopt wel.

 

Opgave 1       

a

0

1

2

P(X = a)

 

Opgave 2

a

2

3

4

5

6

P(Y = a)

=

=

 

7

8

9

10

11

12

=

=

 

a

0

1

2

3

4

5

P(Z = a)

=

=

=

 

Opgave 4:

• Kop: p = 1/2 = 0,5   • Vaas: p = 3/5 = 0,6 

• Dobbelsteen: p = 1/6 ≈ 0.1667   • Vierkeuzevraag: p = 1/4 = 0,25

 

Opgave 6

a)

k

1

2

3

4

P(X = k)

·=

··=

=

b)                 P(X = k) = 

c)                  In theorie kan het oneindig lang duren voordat je voor het eerst zes gooit. De kans op zes verandert immers niet, ook al heb je al heel vaak geen zes gegooid.

 

Opgave 7

a)                 X is geometrisch. Y is binomiaal

b)                 p = 8/20 = 0,4. Minder dan zes is  1, 2, 3, 4 of 5.

k

1

2

3

4

5

P(X = k)

0,4

0,6x0,4 =0,24

0,6²x0,4 =0,144

0,6³x0,4 =0,0864

0,64x0,4 = 0.05184

            Totaal: 0,4 + 0,24 + 0,144 + 0,0864 + 0,05184 = 0,9224.

            Merk op: telt niet op tot 1 want er is ook een P(X=6), P(X=7), P(X=...).

c)                  P(hoogstens 1) = P(geen rode) + P(1 rode) =    +   ≈ 0.02384 + 0.1635 ≈ 0.1873

 

Opgave 9:

a)                 Dat hangt af van het aantal jongens en meisjes. Als er bijna alleen maar meisjes of bijna alleen maar jongens zijn, dan is het bij benadering normaal verdeeld. Als de verhouding ongeveer half-half is, heeft de kansverdeling waarschijnlijk twee pieken.

b)                 Nee: een piek rond 43 (gemiddelde man) en een rond 39 (gemiddelde vrouw)

c)                  Ja

d)                 Nee: de uitschieters naar boven (in een 0-0-wedstrijd zelfs 90 minuten) zijn veel groter dan die naar beneden: niet symmetrisch.

e)                  Nee: geen continue verdeling. Het staafdiagram benadert wel een klokvorm, waardoor je deze verdeling wel met een normale verdeling kunt benaderen.

 

Opgave 10:

a)                  De verwachting met 1 dobbelsteen is 1/6. Met twee dobbelstenen verwacht je twee keer zoveel zessen.

b)                 3 x 1/6 = 3/6 = 0,5.

Controle:

a

0

1

2

3

P(X = a)

E(X) =  =

 

Opgave 13

a)                 E(X) = p·1 + q·0 = p

b)                 Y is de som van n stochasten X, die allemaal verwachting p hebben. De verwachting van Y is de som van de verwachtingen van X, dus n·p.

c)                  E(Z) = 50 · 0,4 = 20.

 

Opgave 14 (opgave 6 uit boek)

E(X) = 4 · E(Bernoulli-stochast) = 4 · P(rood) = 4 · 0.6 = 2,4

of met algemene formule: E(X) = k · P(X = k):

(eerst met binompdf kansen uitrekenen)

E(X) = 0 · 0,0256 + 1 · 0,1536 + 2 · 0,3456 + 3 · 0,3456 + 4 · 0,1296 = 2,4

 

L1

0

1

2

3

4

L1 ingevoerd

 L2 = P(X = L1)

0,0256

0,1536

0,3456

0,3456

0,1296

L2 = binompdf(4, 0.6, L1)

 L3 = (L1 – 2.4)²

5,76

1,96

0,16

0,36

2,56

L3 = (L1 – 2.4)²

 L4 = (L1 – 2.4)² · P

0,14746

0,30106

0,553

0,12442

0,33178

L4 = L3 · L2

 

Var(X) = [List –Math –5:]Sum(L4) = 0,96

σ(X) = =» 0,98

 

Met rekenmachine: L1 en L2 maken, dan [stat – calc – 1-Var Stats <enter>]

1-Var Stats L1, L2 levert  = gemiddelde = E(X) = 2,4; σx = σ(X) » 0,98

Opgave 15:

a)                 E(X) = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5.
Var(X) = (2,5² + 1,5² + 0,5² + 0,5² + 1,5² + 2,5²) / 6 = 17,5 / 6 = 2.

b)                 E(Y) = 2·3,5 = 7. Var(Y) = 2 · Var(X) = 2 · 2 = 5.

c)                  E(Z) = 3,5n. Var(Z) = n · Var(X) = n·2.

 

Opgave 16:

a)                 E(X)  = 1· ½ + 0· ½ = ½ .

Var(X) = (E(X)-0)² · P(X=0) + (E(X)-1)² · P(X=1) = ½²· ½ + ½²·½ = ⅛ + ⅛ =Ό.

b)                 E(X) = q·0 + p·1 = p.

E(X) = p, P(X=0) = q, P(X=1) = p, Var(X) = (E(X)-0)² · P(X=0) + (E(X)-1)² · P(X=1) =  p²q + q²p = pq(p + q) = pq, omdat p + q = 1.

 

Opgave 17

a)                 Een binomiale stochast is de som van n onafhankelijke Bernoulli-stochasten.
Volgens de productregel is de verwachtingswaarde en de variantie dan n keer die van de Bernoulli-stochast, dus n·pq = npq.

b)                 Var(X) = n·p·q = 4 · 0,4 · 0,6 = 0,96

 

Opgave 18 (Zie voor overige antwoorden het antwoordenboek en de CD-rom)

opdracht 12a) Bin(120, 1/6) verdeeld. Variantie = 120 · 1/6 · 5/6 = 16 2/3

opdracht 12b) Bin(100; 0,2) verdeeld. Variantie = 100 · 0,2 · 0,8 = 16

opdracht 13c) Bin(500; 0,1) verdeeld. Variantie = 500 · 0,1 · 0,9 = 45

 

Opgave 19

a)                  13,5 %

b)                 34% + 13,5% = 47,5 %

c)                  47,5% + 34% = 81,5 %

d)                 2,5 %

e)                  50% - 34% = 16 %

 

Opgave 21

a)

L1

0

1

2

3

4

5

6

L1 ingevoerd

P(S = L1)

0,3349

0,4019

0,2009

0,0536

0,008

0.0006

0,000002

L2 = binompdf(6, 1/6, L1)

b)

L1

0

1/3

2/3

1

4/3

5/3

2

L1 gedeeld door 3

P(X =L1)

0,3349

0,4019

0,2009

0,0536

0,008

0.0006

0,000002

Laten staan van a)

 

Opgave 22

a)

A

0

1

2

P(X = a)

= 0,16

= 0,48

= 0,36

b)                 E(X) =  0 · 0,16 + 1 · 0,48 + 2 · 0,36  = 1,2

Var(X) = (1,2 – 0)² · 0,16 + (1,2 – 1)² · 0,48 + (1,2 – 2)² · 0,36 = 0,48

σ(X) =  = 0,6928

c)                  E(S) = 15·1,2 = 18

Var(S) = 0,48·15 = 7,2

σ(S) =  = 2,6833. Of: σ(S) = 0,6928 ·  = 2,6833.